Spazi Vettoriali

Definizione

Def 1: Uno spazio vettoriale (spazio lineare), è una struttura algebrica composta da:

• un campo $\mathbb{K}$, i cui elementi sono detti scalari
• un insieme $V$, i cui elementi sono detti vettori
• due operazioni binarie, dette addizione e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà

Def 2: Uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ è un insieme $V$ in cui sono definite:

• Un’operazione interna tra elementi di $V$, detta SOMMA
• Un’operazione di PRODOTTO che associa ad ogni coppia formata da un elemento di $V$(Vettore) e da un elemento di $\mathbb{K}$(Scalare) un unico elemento di $V$

Info

Un Campo è un insieme $\mathbb{K}$ in cui sono definite due operazioni interne (somma e prodotto) che godono di certe proprietà

Sottospazio Vettoriale

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$. Un sottoinsieme $W\le V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se valgono le seguenti proprietà:

$$\begin{array}{rl}& \text{s1}\forall w_1,w_2\in W{w}_1+w_2\in W\\ & \text{s2}\forall \lambda \in \mathbb{K},\forall w\in W\lambda w\in W\end{array}$$

Ogni sottospazio vettoriale è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di somma e prodotto di $V$ e valgono quindi tutte le corrispondenti proprietà: in particolare $W$ contiene lo 0 e l’opposto di ogni suo elemento

Esempio

1)-Stabilire se $W=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:2y-3x=0\}$ è uno sottospazio di $V={\mathbb{R}}^2$

VERIFICA VETTORE NULLO $(0,0)\in W?$ $2\cdot 0-3\cdot 0$ = 0 si, il vettore nullo appartiene a $W$

VERIFICA PRIMA PROPRIETÀ Considero 2 generici vettori $w_1=(x_1,y_1)\in W$ e $w_2=(x_2,y_2)\in W:w_1+w_2\in W?$

$$\begin{array}{rl}& w_1+w_2=(x_1+y_2)+(x_2+y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\\ & 2(y_1+y_2)-3(x_1+x_2)=2y_1+2y_2-3x_1-3x_2=2y_1-3x_1+2y_2-3x_2=0\text{ –> s1 verificata}\end{array}$$

$2y_1-3x_1+2y_2-3x_2=0$ perché entrambe le $w$ ($2y_1-3x_1$ e $2y_2-3x_2$) valgono zero essendo che $w_1,w_2\in W$

VERIFICA SECONDA PROPRIETÀ Considero 2 generici vettori $w_1=(x_1,y_1)\in W$ e un generico $\lambda \in \mathbb{R}:\lambda w_1\in W?$

$$\begin{array}{rl}& \lambda w_1=\lambda (x_1,y_1)=(\lambda x_1,\lambda y_{1}1)\\ & 2\cdot \lambda y_1-3\cdot \lambda x_1=\lambda (2y_1-3x_1)=0\text{ –> s2 verificata}\end{array}$$

Verificate entrambe le proprietà si può concludere che $W$ è un sottospazio vettoriale di ${\mathbb{R}}^2$