Vettori

Geometria #Incompleto

Definizione

Esistono diverse definizioni di vettori in base al contesto, a noi ci interessa il vettore geometrico.

Un Vettore è un segmento orientato, cioè un segmento AB i cui estremi sono considerati in un certo ordine e che è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

• direzione, che è la direzione della retta passante per gli estremi del segmento
• verso, inteso come il verso che sulla retta porta da A a B o da B ad A
• modulo, detto anche intensità o lunghezza, è definito come la misura del segmento $AB$ rispetto a una fissata unità di misura.

Osservazioni: Indipendentemente dal punto di vista che vogliamo considerare, un vettore, per poter avere significato, ha bisogno di un sistema di coordinate.

Rappresentazione di un vettore

Per distinguere un vettore da un punto possiamo usare la seguente rappresentazione:

$\overrightarrow{AB}$

Operazioni con vettori

Somma di vettori

Per sommare due vettori si possono traslare i vettori in maniera parallela a se stessi fino a raggiungere la punta dell’altro vettore.

$$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right]$$

Esempio:

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1+3\\ 2+(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$$

Moltiplicazione tra vettore e valore scalare

Un valore scalare si può vedere come un valore che moltiplica la lunghezza del vettore

$$k\ast \left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}k\ast a\\ k\ast b\end{array}\right]$$

Vettori speciali

Vettori base

I vettori di base sono un insieme di vettori che formano una base di uno spazio vettoriale. Una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti che possono essere combinati linearmente per generare qualsiasi vettore in quello spazio.

$$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]y=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$

Vettore nullo

Il vettore nullo è un vettore nullo :)

$$\overrightarrow{0}$$